Wac322aw Sierpi324ski Wac322aw Le père de Sierpi324ski était médecin. Il a fréquenté l'école à Varsovie où son talent pour les mathématiques a été rapidement repéré par son premier professeur de mathématiques. C'était une période d'occupation russe de la Pologne et c'était un moment difficile pour le Sierpi324ski doué d'être instruit en Pologne. Les Russes avaient forcé leur langue et leur culture sur les Polonais dans les changements radicaux à toutes les écoles secondaires mises en application entre 1869 et 1874. Le but russe était de maintenir l'analphabétisme en Pologne aussi haut que possible, ainsi ils ont découragé l'étude et le nombre d'étudiants est tombé. Malgré les difficultés, Sierpi324ski est entré au Département de Mathématiques et Physique de l'Université de Varsovie en 1899. Il serait plus exact de le décrire comme l'Université Czars puisque c'était le nom officiel de l'Université qui était devenue une université russe en 1869. Les conférences à l'Université étaient toutes en russe et le personnel était entièrement russe. Il n'est donc pas surprenant que ce soit le travail d'un mathématicien russe, l'un de ses professeurs Voronoy. Qui a d'abord attiré Sierpi324ski. En 1903, le Département de mathématiques et de physique a offert un prix pour le meilleur essai d'un étudiant sur la contribution de Voronoy à la théorie des nombres. Sierpi324ski a reçu la médaille d'or dans la compétition pour sa thèse. Il a décrit les événements (voir, A Rotkiewicz, W Sierpinski8217s travaux sur la théorie des nombres, Rend. Circ. Palerme (2) 21 (1972), 5 24, 12): . J'ai reçu une médaille d'or de l'université pour son travail dans une compétition sur la théorie des nombres. C'était mon premier travail scientifique. Il a été accepté pour publication dans les Izvestia de l'Université de Varsovie. Cependant, l'année suivante, il ya eu une grève pour produire un boycott des écoles russes en Pologne et je ne voulais pas que mon premier travail soit imprimé en russe et c'est pourquoi je l'ai retiré de l'imprimerie à Izvestia à Varsovie. C'est pourquoi il n'a été imprimé qu'en 1907 dans le magazine mathématique Les oeuvres de Mathématiques et Physique publié par Samuel Dickstein. Cinquante ans après avoir obtenu son diplôme de l 'Université de Varsovie, Sierpi324ski s'est penché sur les problèmes qu'il avait en tant que Polonais à l' époque de l 'occupation russe:. Nous avons dû assister à une conférence annuelle sur la langue russe. Chacun des étudiants a fait un point d'honneur d'avoir les pires résultats dans ce domaine. Je n'ai pas répondu à une seule question. Et j'ai obtenu une note insatisfaisante. J'ai passé tous mes examens, puis le lector a suggéré que je devais prendre un examen de répétition, sinon je ne pourrais pas obtenir le degré d'un candidat pour la science mathématique. Je lui ai refusé de dire que ce serait le premier cas à notre Université que quelqu'un ayant d'excellentes notes dans tous les sujets, ayant la thèse acceptée et une médaille d'or, n'obtiendrait pas le degré de candidat à la science mathématique, mais un degré inférieur, le Degré d'un vrai étudiant (étrangement c'était ce que le degré inférieur a été appelé) en raison d'une marque inférieure dans la langue russe. Sierpi324ski a été chanceux pour le lector a changé la marque sur son cours de langue russe à bon pour qu'il puisse prendre son diplôme. Comme il le dit: Le policier était humain. Les résultats dans l'essai de prix que Sierpi324ski a écrit en 1904 ont été une contribution majeure à un problème célèbre sur les points de réseau. Supposons que R (r) représente le nombre de points (m. n), m. N 8712 Z contenu dans un centre de cercle O. Rayon r. Il existe une constante C et un nombre k avec Soit d la valeur minimale de k. Gauss prouvé en 1837 que d 8804 1. Sierpi324skis contribution majeure a été de montrer qu'il était possible d'améliorer l'inégalité à d 8804 2 3. En 1913 Edmund Landau raccourci Sierpi324skis preuve et a décrit le résultat aussi profond. Disons nous un moment pour discuter d'un travail ultérieur qui découle de ce résultat de Sierpi324ski sur ce que l'on appelle souvent le problème du cercle de Gauss. En 1915 Hardy et Landau prouvé que d gt 1 2. Tandis qu'en 1923, van der Corput prouvé que d lt 2 3. L'année suivante, Littlewood et Walfisz prouvèrent que d 8804 37 56. Ce qui est amélioré à 8804 163 247 l'année suivante. Légères améliorations ont été faites par Vinogradov en 1932 et Titchmarsh en 1934. Le meilleur résultat que je connais EFR est d 8804 7 11. Sierpi324ski est diplômé en 1904 et a travaillé pendant un certain temps comme professeur d'école de mathématiques et de physique dans une école de filles à Varsovie. Cependant, lorsque l'école a fermé à cause d'une grève, Sierpi324ski a décidé d'aller à Krakoacutew pour étudier pour son doctorat. À l'université Jagiellonian dans Krakoacutew il a assisté à des conférences par Zaremba sur les mathématiques, étudiant en plus l'astronomie et la philosophie. Il a reçu son doctorat et a été nommé à l'Université de Lvov en 1908. En fait, c'est en 1907 que Sierpi324ski s'est d'abord intéressé à la théorie des ensembles. Il est arrivé quand il est tombé sur un théorème qui a déclaré que les points dans le plan pourrait être spécifié avec une seule coordonnée. Il écrit à Banachiewicz. Qui était à Goumlttingen à l'époque, lui demandant comment un tel résultat était possible. Il a reçu un mot réponse Cantor. Sierpi324ski a commencé à étudier la théorie des ensembles et en 1909, il a donné le tout premier cours de conférences entièrement consacré à la théorie des ensembles. Tout au long de sa vie Sierpi324ski a maintenu une production incroyable de documents de recherche et de livres. Pendant les années 1908 à 1914, quand il a enseigné à l'Université de Lvov, il a publié trois livres en plus de nombreux documents de recherche. Ces livres étaient La théorie des nombres irrationnels (1910), Le plan de la théorie des ensembles (1912) et La théorie des nombres (1912). Lorsque la Première Guerre mondiale a commencé en 1914, Sierpi324ski et sa famille se trouvait en Russie. A cette époque, les gouvernements de l'Autriche et de la Russie ont essayé d'utiliser la question polonaise comme une arme politique. Sierpi324ski a été interné à Viatka. Cependant Egorov et Luzin apprirent qu'il avait été interné et arrangé pour lui permettre d'aller à Moscou. Sierpi324ski a passé le reste des années de guerre à Moscou avec Luzin. Ensemble, ils ont commencé l'étude des ensembles analytiques. En 1916, pendant son séjour à Moscou, Sierpi324ski a donné le premier exemple d'un nombre absolument normal, c'est à dire un nombre dont les chiffres se produisent avec la même fréquence dans n'importe quelle base qu'il est écrit. Borel avait prouvé que de tels nombres existaient, mais Sierpi324ski fut le premier à donner un exemple. Lorsque la Première Guerre mondiale a pris fin en 1918, Sierpi324ski est retourné à Lvov. Peu de temps après avoir repris sa nomination à Lvov, on lui offrit un poste à l'Université de Varsovie qu'il accepta. En 1919, il est promu professeur à Varsovie et il y passe le reste de sa vie. En 1920 Sierpi324ski, avec son ancien étudiant Mazurkiewicz. A fondé l'importante revue mathématique Fundamenta Mathematicae. Sierpi324ski a édité la revue spécialisée dans les articles sur la théorie des ensembles. À partir de cette période Sierpi324ski a travaillé principalement dans le domaine de la théorie des ensembles, mais aussi sur la topologie des points et les fonctions d'une variable réelle. Dans la théorie des ensembles, il a apporté d'importantes contributions à l'axiome du choix et à l'hypothèse du continuum. Il a étudié la courbe de Sierpi324ski qui décrit un chemin fermé qui contient chaque point intérieur d'un carré. La longueur de la courbe est infinie, tandis que la zone entourée par elle est 5 12 celle du carré. Sierpi324ski a continué à collaborer avec Luzin sur des recherches d'ensembles analytiques et projectifs. Son travail sur les fonctions d'une variable réelle comprend les résultats sur les séries fonctionnelles, la différentiabilité des fonctions et la classification de Baire. Sierpi324ski a également été très impliqué dans le développement des mathématiques en Pologne. Il avait été honoré d'être élu à l'Académie polonaise en 1921 et il fut nommé doyen de la faculté à l'Université de Varsovie la même année. En 1928, il devient vice président de la Société scientifique de Varsovie et, la même année, est élu président de la Société mathématique polonaise. En 1939, la vie à Varsovie changea radicalement avec l'avènement de la Seconde Guerre mondiale. Sierpi324ski a continué à travailler à l'Université souterraine de Varsovie tandis que son emploi officiel était un commis dans les bureaux de conseil à Varsovie. Ses publications ont continué depuis qu'il a réussi à envoyer des papiers à l'Italie. Chacun de ces papiers se terminait par les mots: Les preuves de ces théorèmes apparaîtront dans la publication de Fundamenta Mathematicae que tout le monde a compris que la Pologne survivra. Après le soulèvement de 1944, les Nazis brûlèrent sa maison détruisant sa bibliothèque et ses lettres personnelles. Sierpi324ski a parlé des événements tragiques de la guerre pendant une conférence qu'il a donnée à l'université de Jagiellonian dans Krakoacutew en 1945 (voir A Schinzel, Waclaw Sierpinski8217s papiers sur la théorie du nombre, Acta Arithmetica 21 (1972), 7 13., 13 ). Il a parlé de ses étudiants qui étaient morts dans la guerre: En juillet de 1941 un de mes plus vieux étudiants Stanisław Ruziewicz a été assassiné. Il était professeur retraité de l'Université Jan Kazimierz à Lvov. Un mathématicien remarquable et un excellent professeur. En 1943, un de mes plus illustres étudiants Stanisław Saks a été assassiné. Il a été professeur adjoint à l'Université de Varsovie, l'un des principaux experts mondiaux dans la théorie de l'intégrale. En 1942, un autre étudiant, Adolf Lindenbaum, a été assassiné. Il a été professeur adjoint à l'Université de Varsovie et éminent auteur de travaux sur la théorie des ensembles. Après la liste des collègues qui ont été assassinés dans la guerre comme Schauder et d'autres qui sont morts à la suite de la guerre comme Dickstein et Zaremba. Sierpi324ski a poursuivi: Ainsi, plus de la moitié des mathématiciens qui ont enseigné dans nos écoles universitaires ont été tués. C'était une grande perte pour les mathématiques polonaises qui se développait favorablement dans certains domaines tels que la théorie des ensembles et la topologie. En plus des pertes personnelles lamentées polonais mathématiques a souffert à cause de la barbarie allemande pendant la guerre, il a également subi des pertes matérielles. Ils ont incendié la bibliothèque de l'Université de Varsovie qui contenait plusieurs milliers de volumes, magazines, livres mathématiques et des milliers de réimpressions d'ouvrages mathématiques de différents auteurs. Presque toutes les éditions de Fundamenta Mathematicae (32 volumes) et dix volumes de Monographie mathématique ont été complètement brûlées. Les bibliothèques privées de tous les quatre professeurs de mathématiques de l'Université de Varsovie et aussi un bon nombre de manuscrits de leurs ouvrages et manuels écrits pendant la guerre ont été brûlés aussi. Sierpi324ski a été l'auteur de l'incroyable nombre de 724 articles et 50 livres. Il a pris sa retraite en 1960 en tant que professeur à l'Université de Varsovie, mais il a continué à donner un séminaire sur la théorie des nombres à l'Académie polonaise des sciences jusqu'à 1967. Il a également poursuivi son travail éditorial, en tant que rédacteur en chef d'Acta Arithmetica qui Il a commencé en 1958, et en tant que membre du comité de rédaction de Rendiconti del Circolo Matematico de Palerme, Compositio Mathematica et Zentralblatt fuumlr Mathematik. Il reçut tant d'honneurs qu'il serait impossible de les mentionner tous ici. Nous énumérons quelques uns. Il a reçu des diplômes honorifiques des universités Lvov (1929), Saint Marc de Lima (1930), Amsterdam (1931), Tarta (1931), Sofia (1939), Prague (1947), Wroc322aw (1947), Lucknow , Et Lomonosov University of Moscow (1967). Il a été élu à la Société géographique de Lima (1931), la Société scientifique royale de Liegravege (1934), l'Académie bulgare des sciences (1936), l'Académie nationale de Lima (1939), la Société royale des sciences de Naples ), L'Académie des sciences de Rome (1947), l'Académie allemande des sciences (1950), l'Académie américaine des arts et des sciences (1959), l'Académie de Paris (1960), l'Académie royale néerlandaise (1961), l'Académie des sciences Science de Bruxelles (1961), la London Mathematical Society (1964), l'Académie roumaine (1965) et l'Académie pontificale des sciences (1967). Rotkiewicz, qui était un étudiant de Sierpi324skis écrit dans, A Rotkiewicz, W Sierpinski8217s travaille sur la théorie des nombres, Rend. Circ. Tapis. Palerme (2) 21 (1972), 5 24., 12: Sierpi324ski avait une santé exceptionnellement bonne et une nature gaie. Il pouvait travailler sous n'importe quelle condition. Il n'aimait pas les corrections à ses papiers. Quand quelqu'un a suggéré une correction, il a ajouté une ligne à lui: M. X a fait remarquer que. Il était un esprit créatif et aimait les mathématiques créatives. Il était le plus grand et le plus productif des mathématiciens polonais. Article par: JJ OConnor et EF Robertson Cliquez sur ce lien pour voir la liste des entrées du Glossaire pour cette page Liste des bibliographies (18 livres) Lodes Tutoriel des graphismes informatiques Sierpinski Fractals Table des matières Introduction Il ya beaucoup de fractales nommées d'après Waclaw Sierpinski, un mathématicien polonais qui a vécu de 1882 à 1969. Il s'agit notamment du triangle de Sierpinski, du tapis de Sierpinski, de la pyramide de Sierpinski (version 3D du triangle de Sierpinski) et du cube de Sierpinski (la version 3D du tapis de Sierpinski). Les figures en 2D seront décrites ici. Triangle de Sierpinski Le Triangle de Sierpinski, également appelé Sierpinski Gasket et Sierpinski Sieve, peut être dessiné à la main comme suit: Commencez avec un triangle unique. C'est le seul triangle dans cette direction, tous les autres seront à l'envers: Dans ce triangle, dessinez un petit triangle à l'envers. Ses angles doivent être exactement au centre des côtés du grand triangle: Maintenant, dessinez trois petits triangles dans chacun des 3 triangles qui sont pointés vers le haut, encore avec les coins au centre des côtés des triangles qui pointent vers le haut: Maintenant, il ya 9 triangles pointant vers le haut. Dans chacun de ces 9, dessinez à nouveau des triangles à l'envers: Dans les 27 triangles pointant vers le haut, dessinez encore 27 triangles pointant vers le bas: Après des pas infinis, et si tous les triangles pointant vers le haut seraient remplis, vous avez le Sierpinski Sieve. A chaque pas, il faut dessiner plus de triangles. Il s'agit d'un processus récursif, et il peut être tiré de la même manière avec un ordinateur. Avec Recursion Well, programmez maintenant que ce qui a été tiré à la main sur l'ordinateur, en faisant une fonction de dessin triangle qui s'allume à nouveau 3 fois, jusqu'à n étapes de récursions sont atteintes. Ce programme est fait de sorte qu'il fonctionne pour tout triangle initial, il ne doit pas être symétrique, la seule condition est que les coins se trouvent à l'intérieur de l'écran. La fonction principale configure l'écran et appelle la fonction drawSierpinski. La fonction drawSierpinski elle même ne dessinera qu'un triangle: celui qui pointe vers le haut. Puis itll appeler la fonction subTriangle, et qui est la fonction récursive réelle, thatll dessiner tous les triangles à l'envers. La fonction subTriangle dessine un seul triangle à l'envers, avec les 3 coins que vous lui donnez avec ses paramètres. Puis itll appelle lui même 3 fois à nouveau, pour dessiner 3 triangles plus petits. Pour ces 3 triangles, de nouveaux angles sont bien sûr utilisés, et ceux ci doivent être calculés. Dans l'image suivante, si le triangle noir est le grand triangle que la fonction subTriangle a dessiné, les 3 triangles rouges sont les nouveaux qui doivent être calculés: Les angles du grand triangle sont a1, a2 et a3. Les angles d'un des petits triangles sont b1, b2 et b3 comme vous pouvez le voir sur l'image. Si nous voyons tous ces points comme vecteurs, les formules des points b (avec les points a étant connus) sont: b3 (a1 a2) 2, parce que b3 se trouve au centre entre a1 et a2, ce point est la moyenne de A1 et a2 b1 b3 (a1 a3) 2: si vous examinez bien, vous verrez que le point b1 est la somme du point b3 et du vecteur (a1 a3) 2, son divisé par 2 parce que le côté correspondant de la Petit triangle est moitié moins grand. B2 b3 (a2 a3) 2: c'est très semblable à l'autre formule, mais avec l'autre côté. Pour les 2 autres petits triangles, quelque chose de similaire est fait. Dans le code, nous n'utilisons pas une classe vectorielle, donc x et y sont des variables distinctes, et en raison de la façon dont les additions vectorielles fonctionnent, nous devons simplement faire la même chose deux fois, une fois pour x et une fois pour y, avec la même Formules. Pour les coordonnées des angles triangulaires, les nombres en virgule flottante sont utilisés pour plus de précision. Avec ces connaissances le programme peut être fait, les commentaires dans le code ci dessous expliquera comment cela fonctionne: Heres ce que vous voyez après avoir exécuté le programme: Avec AND La méthode donnée ci dessus n'est que l'une des nombreuses manières de dessiner Sierpinski Triangles. L'une de ces manières est avec l'opérateur ET. Si vous prenez un pixel de la coordonnée x comme un entier, et la coordonnée y comme un entier, et utilisez l'opérateur AND sur eux, si le résultat est 0, dessinez un pixel d'une couleur, sinon un autre. Vous verrez alors un Sierpinski Triangle pop up L'opérateur AND sur deux entiers, prend les deux entiers comme un nombre binaire, et utilise AND sur chacun des bits correspondants. L'opérateur ET sur les bits fonctionne comme suit :: Ceci est fait pour chaque bit de l'entier, et seulement si l'entier résultant est en 0000000000000000 binaire, le pixel est donné une autre couleur. Le code est une boucle double très simple qui passe par chaque pixel et vérifie si x amp y est 0 ou non, où amp est l'opérateur ET binaire dans C. En utilisant x ampère y dans une condition if, il ne sera que faux dans le Case x amp y est 0, et dans tous les autres cas un pixel blanc est dessiné, donc le résultat sera un triangle sierpinski noir sur un fond blanc. Le résultat semble le mieux si les tailles d'écran sont des puissances de 2, sinon vous ne voyez qu'une partie du triangle. Avec une fonction aléatoire Une autre manière totalement différente de tracer une approximation du triangle de Sierpinski fonctionne comme suit: 1) définir 3 points avec les coordonnées: a (ax, ay), b (bx, by) et c (cx, cy). Ceux ci deviendront les coins du grand triangle extérieur. 2) définir un autre point, p (px, py) et le placer dans un coin du triangle (par exemple px ax et py ay). 3) tracer un point à l'emplacement (px, py) avec un crayon 4) rouler une matrice théorique avec 3 côtés (côté 0, côté 1 et côté 2) ou simplement faire un choix aléatoire entre 0, 1 et 2. 5) Changez maintenant les coordonnées du point p, selon le nombre de rouleaux: si vous avez roulé 0, p (pa) 2 si vous avez roulé 1, p (pb) 2 si vous avez roulé 2, p (pc) 2 6) revenez à Étape 2, placez le point à la nouvelle position de p, et continuez à boucler à travers ce jusqu'à ce que vous obtenez tiredEven bien que le processus entier est randomisé, après assez de pas, le résultat ressemblera de plus en plus à un triangle Sierpinski Ce n'est pas trop difficile à Code, les commentaires expliquent comment tout fonctionne: Plus vous faites de la valeur numSteps, plus les pixels seront dessinés. Ces images montrent le résultat pour 1000, 10000 et 100000 étapes: En jouant un peu avec les formules vous pouvez obtenir d'autres formes, comme par exemple celui ci: Gotten en changeant certaines des divisions à travers 2.0 dans les divisions à travers 3.0. Avec Rectangle Recursion Encore une autre façon de dessiner un Triangle Sierpinski est avec une fonction récursive qui utilise des rectangles. Le processus de récursion fonctionne comme suit: Changer chaque rectangle en forme de L: La forme en L elle même se compose de 3 rectangles, qui sont de nouveau convertis en L forme, etc Si vous continuez à faire cela assez longtemps, itll regarder plus Et plus comme un triangle de Sierpinski. C'est encore quelque chose qui peut être programmé avec une fonction récursive, assez semblable au code récursif donné plus haut, mais ces rectangles d'heures sont dessinés, et de nouvelles coordonnées pour 3 nouveaux rectangles doivent être calculées à chaque fois. Voici le résultat pour 3, 5 et 8 récursions: Pour étudier la récursion un peu mieux, essayez de voir ce qui se passe lorsque la fonction drawSierpinski s'appelle seulement 1 fois au lieu de 3 (les 2 autres appels sont commentés): now, if maxRecursions Est 8, seulement 8 rectangles sont dessinés, chacun plus petit que le précédent: Maintenant, nous permettons deux des appels à lui même, et déjà plus de carrés sont dessinés, mais la forme n'est pas si complexe encore. Maintenant, à droite, il y a un grand carré, à gauche de celui ci, 2 demi carrés, à gauche de ces 4 14èmes carrés, à gauche de ce 8ème carré, et ainsi de suite, avec 128 rangs 128 fois plus petits que le grand carré sur la droite. Et finalement, si nous nous autorisons tous les 3 appels à lui même, nous obtenons le triangle de Sierpinski, et tant de carrés sont dessinés que presque tout est blanc: Theres encore une autre manière d'obtenir un triangle de Sierpinski: avec un automate cellulaire, mais cela pourrait être couvert Dans un article ultérieur. Tapis Sierpinski avec Rectangle Recursion Une autre fractale est le tapis Sierpinski. Pour dessiner un à la main, commencez par un carré blanc, puis dessinez un carré noir au centre de chaque côté 13ème de la taille du carré original: Maintenant, autour du carré noir, sont 8 carrés blancs. Dans chacun de ces 8, dessinez à nouveau un carré noir qui est 18ème plus petit, et dans les 8864 nouveaux carrés blancs, le faire encore une fois: Continuez à faire jusqu'à l'infini, et vous obtenez un tapis sierpinski Pour le dessiner, nous pouvons utiliser un recursif Fonction thats assez semblable à celui utilisé pour le triangle sierpinski avec des rectangles, mais maintenant la fonction doit appeler lui même 8 fois au lieu de seulement 3, et utiliser des coordonnées différentes. Les coordonnées x1, y1 x2, y2 se divisent en 9 sections, dans le centre un rectangle est dessiné avec rect, et les 8 autres sont utilisés comme paramètres pour les appels drawCarpet de la prochaine étape de récursivité. Et heres le résultat pour 6 étapes de récursion: Si vous voulez un plus grand, utilisez une résolution de 729729 pixels et 7 récursions. Avec les nombres ternaires Theres aussi une méthode pour dessiner le tapis de Sierpinski thats semblable à la méthode ET pour dessiner le triangle sierpinski. À savoir, vous effectuez un calcul pour chaque pixel pour vérifier s'il doit ou non être coloré. Cette méthode est un peu plus complexe cependant, parce que vous devez travailler en base 3, c'est à dire avec des nombres ternaires. Les nombres ternaires ont des chiffres qui peuvent être 0, 1 ou 2. La méthode fonctionne comme suit: Prenez les deux coordonnées du pixel comme des entiers écrits en notation ternaire. Pour chaque chiffre, vérifiez si NON les deux chiffres correspondants sont 1. Si cela ne se produit jamais, alors le point appartient au tapis. Pour trouver le premier chiffre ternaire (le plus à droite) d'un nombre, divisez le de façon modulo 3 (division modulo par 3 fonctionne comme suit: 030, 131, 232, 330, 431, 532, 630, 731, etc.). Pour trouver le deuxième chiffre ternaire, divisez d'abord le nombre par 3 (division entière, c'est à dire supprimez les nombres derrière le point), puis divisez le par 3. Si vous trouvez le troisième chiffre ternaire, divisez le par 9, 3. Pour trouver le quatrième, diviser par 27, puis modulo diviser par 3, etc L'exemple ci dessous utilise une résolution de 243 par 243 pixels, donc nous devons vérifier seulement les 5 premiers chiffres ternary des coordonnées pixel, puisque avec 5 Vous pouvez représenter tous les nombres de 0 à 242. La condition dans le if, est écrite sur de nombreuses lignes, et la condition vérifie pour chacun des 5 chiffres si PAS à la fois la de la coordonnée x et celle de la y Coordonnée sont ensemble 1. Si la condition est vraie, un pixel blanc est dessiné à x, y. Le résultat est identique à celui du programme précédent, même si celui ci utilise une méthode totalement différente: Si vous souhaitez augmenter la résolution, vous devez ajouter une condition supplémentaire pour le 6ème chiffre (où vous divisez par 243), etc. Pour chaque fois que vous tripez la résolution. La condition qui vérifie le 5ème chiffre (le 5ème chiffre ternaire de la droite) est celle qui est responsable du grand carré noir au centre. Si vous supprimez la condition pour le 5ème chiffre, le carré noir central est allé, et vous obtenez ceci: Si vous supprimez la condition pour le 5ème chiffre, Supprimez par exemple la condition qui vérifie le 3ème chiffre, tous les carrés noirs du troisième ordre sont allés tandis que tous les autres restent: Ainsi, si vous tripliez la résolution, le carré qui est maintenant le carré central deviendra un carré dans le En haut à gauche, et vous avez besoin d'un carré noir encore plus grand dans le nouveau centre, c'est pourquoi vous avez besoin d'une nouvelle condition qui vérifie le sixième chiffre alors. Dernière édition: 2004 Copyright (c) 2004 2007 par Lode Vandevenne. Tous les droits sont réservés.
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